最速降曲线问题及方程式
1630年,意大利科学家伽利略提出一个分析学的基本问题。他说这最速曲线是圆,但这是一个错误的答案。1696年瑞士数学家约翰.伯努利提出这个 最速降曲线 的问题,次年已有多位数学家得到正确答案,并研究出最速曲线的方程。
一、简介
在一个斜面上,摆两条轨道,一条是直线,一条是曲线,起点高度以及终点高度都相同。两个质量、大小一样的小球同时从起点向下滑落,曲线的小球反而先到终点。这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度,所以先到达。
然而,两点之间的直线只有一条,曲线却有无数条,那么,哪一条才是最速降曲线呢?伽利略与1630年提出了这个问题,当时他认为这条线应该是一条弧线,可是后来人们发现这个答案是错误的。
1696年,瑞士数学家约翰·伯努利解决了这个问题,他还拿这个问题向其他数学家提出了公开挑战。牛顿、莱布尼兹、洛比达以及雅克布·伯努利等解决了这个问题。这条最速降曲线就是一条摆线,也叫旋轮线。
最速降曲线就是摆线,只不过在最速降线问题中,这条摆线是上、下颠倒过来的罢了。
二、最速曲线的方程
约翰∙伯努利认为光在“折射率梯度降低介质”中的传播路径,也必定是“质点因重力沿坡下滑”中那个“最快的坡”。最速曲线的方程是这样的:
(1)光的波动性,决定了光有v1/v2=sinθ1/sinθ2(斯涅尔定律)这样一种择向规律。证明如下;
(2)光的v1/v2=sinθ1/sinθ2(斯涅尔定律)的择向规律,决定了“光径最快”,即“光在两点间传播所选择的路径是用时最少的路径”,证明如下;
(3)如果一个质点从A点到达了B点,光也从A点到达了B点。二者的速度(大小和方向)随位置变化的规律一致,并且实际走的路径也一致,则该路径不仅是光,也是该质点从A到达B的最快路径;
(4)现在考虑一个因重力沿坡下滑的质点,要从A点到达不在其正下方的B点,当然是有各种可能的坡的,直的、弯的,“这么”弯的、“那么”弯的,由人来选;
(5)无论什么样的坡,其速度变化规律是:速度大小只和高度有关,即速度大小与“高度降”的平方根成正比(基于能量守恒和势能动能转换规律),方向都是沿着路径的切向;
(6)现在构建一个光传播系统,该系统中从高向低介质的折射率从大向小,那么由于光传播速度只取决于折射率,而折射率在这种“折射率梯度降低介质”中只取决于高度,因此光如果从A点到达了B点,则同样有:速度大小只取决于高度,方向都是沿着路径的切向;
(7)基于(3),光径必定也是下滑质点的最快的坡;
(8)基于“速度大小只取决于高度、方向沿路径切向”和“v1/v2=sinθ1/sinθ2”,足以推导出路径方程符合摆线方程。
强调一点:当你为下滑质点模拟好了光径,也就约束了它遵守“v1/v2=sinθ1/sinθ2”。
以上是最速曲线的方程的详细证明,希望能够帮助你解答问题。
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